Recreando a Fourier para el Audio

José Mujica

    El Audio le debe mucho a innumerables científicos. De éstos sobresalen más de una docena y de ese grupo hoy deseamos rendirle un tributo a Jean Baptiste Fourier (1768-1830). El hombre que desarrollo los métodos de descomponer una onda compleja en sus partes. Ese método fue el que determinó que una onda compleja que representa a los sonidos reales que oímos a diario puede ser descompuesta en una onda fundamental y varias ondas adicionales llamadas armónicos, Primer armónico, segundo armónico, etc. Lo fascinante de este método es que una vez que se tienen las partes es fácil demostrar que al sumarlas se reconstruye punto a punto la onda compleja que las generó.

Fourier y el Audio

     Básicamente las Transformadas de Fourier tienen dos aplicaciones en nuestra profesión que nos interesan. 1.-Descomponer una onda compleja en sus partes y 2.-Obtener las diferentes frecuencias de sus amplitudes. Fourier por supuesto va mucho más allá, pasando por el estudio de las fases y el mundo digital moderno, pero el estudio desarrollado se centró en pasar de una onda representada en función del tiempo a representarla en el dominio de la Frecuencia. Específicamente el Método llamado Transformada Discreta de Fourier.




     Desde mis estudios de electrónica siempre me intrigó desarrollarlo a fondo. En la Universidad uno estudia a Fourier y sus aplicaciones, pero como siempre de una manera donde se juega con sus fórmulas y sus resoluciones más clásicas. Pero en ninguno de los ejercicios que estudié, los exámenes que presenté y los ejemplos que tropecé en la Profesión se hacía el proceso completo, Se dejaba sobreentendido para un estudiante y un profesional que se supone maneja a la perfección todas las variables involucradas, pero el grueso de las personas interesadas no llegan a ese nivel que se requiere.

 El Tiempo que tomó este desarrollo  

    Esta investigación  me tomó 12 años aproximadamente, (La de Matemática Modular para el cálculo de Difusores Acústicos me tomó 10 años.), le dedicaba unas 6 horas cada 4 meses. No era una meta de urgente, aunque sí de vida. Quería experimentar lo que se sentía calcular paso a paso esa transformación y hoy quiero compartir con aquellos lectores apasionados de la profesión esta experiencia.

     La fórmula de Fourier no es nada atractiva ni siquiera para el que está obligado a estudiarla. Tiene  5 variables que conocer, un alumno de secundaria pasa trabajo con solo dos (Y=3X+5). Por esta razón en los estudios de Ingeniería no se desarrolla paso a paso para estas aplicaciones de Audio. Siempre soñé que alguien la hubiese desarrollado completa y me la explicara en algún libro, pero fueron 12 años buscándolo. Es así que desde hace unos 5 años decidí que algún día iba a buscar el tiempo para rematarla. Con tanto conocimiento acumulado me tomó finalmente 2 semanas a 6 horas diarias resolverla.

     Mi pasión con las Transformadas de Fourier se inició probablemente hace una década cuando quise hacer un analizador de espectro en tiempo real para computadoras. Tenia que estudiar simultáneamente el Lenguaje C de Programación para lograr tomar la onda de sonido desde la tarjeta y hacer la toma de sus valores de Amplitud. Logré en ese entonces desmantelar una archivo .WAV de Windows y obtener sus amplitudes y mostrarlo en la pantalla en forma de Frecuencias. Como no sabía Lenguaje C mi Analizador no es de Tiempo Real, debes esperar a que el sonido se grabe en el Disco Duro para leerlo.

    Publicación de la Demostración

    A partir de este artículo estimo que me tomará poco más de un mes publicar el desarrollo. Quiero que tenga una presentación de buen gusto a colores, seguramente en un documento en PDF. también quiero desarrollar un video, aunque no tendré tiempo de hacerlo con una animación de altura. 

Descarga el Archivo PDF de la investigación: Transformada Discreta de Fourier Ejemplos paso a paso.

El Proceso Gráficamente

Fourier tuvo una vida fascinante que incluye su participación en la revolución Francesa donde casi muere guillotinado.  También acompañó a Napoleón en su Campaña a Egipto. Tuvo de Profesores a nada más y nada menos que a los matemáticos Lagrange y Laplace.

A su regreso a Francia y como Profesor de Análisis de la Escuela Politécnica, envió un artículo sobre la conducción del calor a la Academia de Ciencias de París.  En ese tiempo los científicos estudiaban el fenómeno de vibración de una cuerda tensada en sus extremos.

El artículo de Fourier fue estudiado por Lagrange, Laplace y Legendre y fue rechazado por la Academia alegando la forma en que obtuvo la ecuación del calor y la falta de rigor en como dedujo sus conclusiones. Sin embargo los Miembros de la Academia estaban convencidos de la importancia de los estudios de Fourier, por lo que convocaron un Premio y éste lo ganó. A pesar de ganar el Premio no le fue permitido publicar sus trabajos en las Memorias de la Academia.

10 años más tarde publicó su libro Teoría Analítica del Calor, que hoy en día es un libro clásico de las Matemáticas. Dos años más tarde obtiene el cargo de Secretario de la Academia y logra  publicar sus trabajos. La historia le dio la razón.

Hoy en día los Métodos de Fourier, incluyendo las Transformadas se emplean en innumerables disciplinas y aplicaciones que incluyen Ciclo de Manchas solares, Predicción de mareas, tratamiento de imágenes, etc.